Перейти к основному содержимому

Постулаты квантовой механики

Постулат I

Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ(q1,q2,...,qn,t)\Psi(q_1,q_2,...,q_n,t) от координат всех образующих частиц и времени. Она называется функцией состояния системы или ее волновой функцией.

Ψ=(q1,q2,...,qn,t)\Psi=(q_1,q_2,...,q_n,t), где qq — обобщенная координата.

Обобщенная координата является совокупностью пространственных координат (в декартовой системе — xx, yy, zz) и проекции спина частицы.

Волновая функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна на всем пространстве.

Сама волновая функция не имеет физического смысла. ΨΨdτ\Psi^*\Psi d\tau — имеет физический смысл: плотность вероятности нахождения системы в элементе объема dτd\tau.

Условие нормировки:

ΨΨdτ=Ψ2dτ=1\int\Psi^*\cdot\Psi d\tau=\int\left|\Psi\right|^2 d\tau=1, где dτd\tau — элемент объема.

Условие отображает факт того, что вероятность найти систему во всем пространстве равна единице.

Постулат II

Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

Оператор — это закон, по которому одной функции ff ставится в соответствие другая функция gg. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией ff, чтобы перевести ее в функцию gg:

L^f=g\widehat Lf=g, где L^\widehat L — оператор.

Два оператора квантовой механики постулируются: оператор координат и оператор импульса. Остальные операторы квантовой механики выводятся из этих двух.

Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на xx.

x^\widehat x — оператор координаты.

x^f=xf\widehat xf=xf

Оператор импульса определяется через операторы его проекций.

P^x{\widehat P}_x — оператор импульса.

P^x=ix{\widehat P}_x = -i\hbar\frac\partial{\partial x}

P^y=iy{\widehat P}_y = -i\hbar\frac\partial{\partial y}

P^z=iz{\widehat P}_z = -i\hbar\frac\partial{\partial z}

=h2π\hbar=\frac h{2\pi} — постоянная Дирака

Постулат III

Функция состояния должна удовлетворять решению:

H^Ψ=EΨ\widehat H\Psi=E\Psi — уравнение Шредингера для стационарного состояния

, где Ψ\Psi — собственная функция оператора HH, EE — собственное значение.

Постулат IV

Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной LL, могут являться собственные значения LL операторного уравнения

L^Ψi=LΨi\widehat L\Psi_i=L\Psi_i

Постулат V

Среднее значение физической величины λ\lambda, имеющей квантово-механический оператор λ\lambda, в состоянии Ψ\Psi определяется соотношением

λλ=ΨλΨdτΨλΨ\overline \lambda\equiv\left\langle \lambda\right\rangle=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle

ΨλΨ\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle — обозначение введено П. Дираком.

E=ΨλΨdτΨfΨE=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|f\right|\Psi\right\rangle

Постулат VI

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1\Psi_1 и Ψ2\Psi_2, то она может находиться и в состоянии

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2\Psi=C_1\Psi_1+C_2\Psi_2, где

C1,C2=constC_1, C_2 = const

Ci=ΨΨidτC_i=\int\Psi^*\Psi_i d\tau

Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата V следует, что функция Ψ\Psi описывает такое состояние, при котором система находится в состоянии Ψ1\Psi_1 с вероятностью, равной C12C_1^2, либо в состоянии Ψ2\Psi_2 с вероятностью C22C_2^2.

Постулат VII

Волновая функция системы частиц с полуцелым спином (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц:

ψ(q1,q2,q3,...,qn,t)=ψ(q1,q3,q2,...,qn,t)\psi(q_1,q_2,q_3,...,q_n,t)=-\psi(q_1,q_3,q_2,...,q_n,t)

Важно. При перестановке q2q_2 и q3q_3 волновая функция становится с отрицательным знаком.

Антисимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925).