Перейти к основному содержимому

Постулаты квантовой механики

Постулат I

Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ(q1,q2,...,qn,t)\Psi(q_1,q_2,...,q_n,t) от координат всех образующих частиц и времени. Она называется функцией состояния системы или ее волновой функцией.

Ψ=(q1,q2,...,qn,t)\Psi=(q_1,q_2,...,q_n,t)

где qq — обобщенная координата.

Обобщенная координата является совокупностью пространственных координат (в декартовой системе — xx, yy, zz) и проекции спина частицы.

Волновая функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна на всем пространстве.

Сама волновая функция не имеет физического смысла. ΨΨdτ\Psi^*\Psi d\tau — имеет физический смысл: плотность вероятности нахождения системы в элементе объема dτd\tau.

Условие нормировки:

ΨΨdτ=Ψ2dτ=1,\int\Psi^*\Psi d\tau=\int\left|\Psi\right|^2 d\tau=1,

где dτd\tau — элемент объема.

Условие отображает факт того, что вероятность найти систему во всем пространстве равна единице.

Постулат II

Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

Оператор — это закон, по которому одной функции ff ставится в соответствие другая функция gg. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией ff, чтобы перевести ее в функцию gg:

L^f=g,\widehat Lf=g,

где L^\widehat L — оператор.

Два оператора квантовой механики постулируются: оператор координат и оператор импульса. Остальные операторы квантовой механики выводятся из этих двух.

Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на xx.

x^ — оператор координаты\widehat x \text{ — оператор координаты}
x^f=xf\widehat xf=xf

Оператор импульса определяется через операторы его проекций.

P^x — оператор импульса{\widehat P}_x \text{ — оператор импульса}
P^x=ix{\widehat P}_x = -i\hbar\frac\partial{\partial x}
P^y=iy{\widehat P}_y = -i\hbar\frac\partial{\partial y}
P^z=iz{\widehat P}_z = -i\hbar\frac\partial{\partial z}
=h2π — постоянная Дирака\hbar=\frac h{2\pi} \text{ — постоянная Дирака}

Постулат III

Функция состояния должна удовлетворять решению:

H^Ψ=EΨ,\widehat H\Psi=E\Psi ,

где Ψ\Psi — собственная функция оператора HH, EE — собственное значение.

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарного состояния.

Постулат IV

Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной LL, могут являться собственные значения LL операторного уравнения

L^Ψi=LΨi\widehat L\Psi_i=L\Psi_i

Постулат V

Среднее значение физической величины λ\lambda, имеющей квантово-механический оператор λ\lambda, в состоянии Ψ\Psi определяется соотношением

λλ=ΨλΨdτΨλΨ\overline \lambda\equiv\left\langle \lambda\right\rangle=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle

Обозначение ΨλΨ\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle введено П. Дираком.

E=ΨλΨdτΨfΨE=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|f\right|\Psi\right\rangle

Постулат VI

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1\Psi_1 и Ψ2\Psi_2, то она может находиться и в состоянии

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2,\Psi=C_1\Psi_1+C_2\Psi_2 ,

где C1,C2=constC_1, C_2 = const

Ci=ΨΨidτC_i=\int\Psi^*\Psi_i d\tau

Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата V следует, что функция Ψ\Psi описывает такое состояние, при котором система находится в состоянии Ψ1\Psi_1 с вероятностью, равной C12C_1^2, либо в состоянии Ψ2\Psi_2 с вероятностью C22C_2^2.

Постулат VII

Волновая функция системы частиц с полуцелым спином (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц:

ψ(q1,q2,q3,...,qn,t)=ψ(q1,q3,q2,...,qn,t)\psi(q_1,q_2,q_3,...,q_n,t)=-\psi(q_1,q_3,q_2,...,q_n,t)

Важно. При перестановке q2q_2 и q3q_3 волновая функция становится с отрицательным знаком.

Антисимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925).