Пример операторного уравнения:
[ H Ψ=EΨ ]
где — оператор, — функция.
Функция , которая удовлетворяет операторному уравнению
[ L f=lf ]
, называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.
[ L f=lf ]
где — собственное значение, — собственная функция оператора.
Например, рассмотрим оператор дифференцирования:
[ L = d/dx ]
- f=e^{kx}widehat{L}f = frac{d}{dx}e^{kx} = underset{substack{ downarrow l}} {k}e^{kx}=lf
Вывод: функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k.
- f = x^2widehat{L}f = frac{d}{dx}x^2 = 2x = frac{2}{x}fneq lf
Вывод: функция f не является собственной, так как не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).
Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.
- Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?
- Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?
- Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?
- Физический смысл собственного значения
- Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?
- 🎥 Видео
Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать
Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?
Рассмотрим оператор дифференцирования:
Собственное значение — k.
Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.
Видео:Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать
Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?
Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.
Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать
Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?
Рассмотрим оператор дифференцирования:
Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.
Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Физический смысл собственного значения
Запишем операторное уравнение:
Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f^*:
Проинтегрируем:
Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.
1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.
2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?
Физическая величина определяется интегралом:
1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;
2) Ψ — не собственная:
Ψ — не собственная:
Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.
Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.
2 следствия:
- энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина)widehat{H}Psi=EPsi
- физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.
🎥 Видео
Решение ДУ.Операционный методСкачать
Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекцияСкачать
Решение диф.уравнений операторным методомСкачать
[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать
Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекцияСкачать
14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать
Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать
Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решенияСкачать
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать
Операционный метод для задачи КошиСкачать
Метод Лапласа решения ДУСкачать
Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать
12 Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.Скачать
Понятие о фрактальной формулировке уравнений переносаСкачать