Операторные уравнения (5 видео) | Конспекты лекций по химии

Пример операторного уравнения:

[ H Ψ=EΨ ],

где $H$ — оператор, $Ψ$ — функция.

Функция $f$ , которая удовлетворяет операторному уравнению

[ L f=lf ]

, называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) $l$ называется собственным значением оператора.

[ L f=lf ],

где $l$ — собственное значение, $f$ — собственная функция оператора.

Например, рассмотрим оператор дифференцирования:

[ L = d/dx ​ ]

$f=e^{kx}$ $frac{d}{dx}e^{kx} = underset{substack{ downarrow l}} {k}e^{kx}=lf$
Вывод: функция $f$ является собственной функцией оператора, собственное значение $k$ .
$x^2$ $frac{d}{dx}x^2 = 2x = frac{2}{x}fneq lf$
Вывод: функция $f$ не является собственной, так как не соответствует операторному уравнению ( $l$ содержит в себе переменную).

Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.

Содержание

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?
Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?
Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?
Физический смысл собственного значения
Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?
💡 Видео

Видео:Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L}=frac{d}{dx}

e^{kx} longrightarrow e^x,e^{2x},…,e^{kx}

Собственное значение — $k$ .

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?

Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.

Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L} = frac{partial}{partial{x}}

e^{kx} qquad widehat{L}f = ke^{kx} = kf, quad l_1 =k g = ye^{kx} qquad widehat{L}g = kye^{kx} = kg, quad l_2 =k gneq fqquad l_1=l_2

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Видео:Решение диф.уравнений операторным методомСкачать

Физический смысл собственного значения

Запишем операторное уравнение:

L f = l f

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию $f^*$ :

f^*widehat{L}f=f^*lf

Проинтегрируем:

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.

H Ψ = E Ψ

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?

Физическая величина определяется интегралом:

1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;

2) Ψ — не собственная:

Ψ — не собственная:

Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.

Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.

2 следствия:

энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина) $H Ψ = E Ψ$
физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.

💡 Видео

Решение ДУ.Операционный методСкачать

Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекцияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекцияСкачать

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решенияСкачать

14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

12 Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.Скачать

Операционный метод для задачи КошиСкачать

Метод Лапласа решения ДУСкачать

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Понятие о фрактальной формулировке уравнений переносаСкачать

Операторные уравнения

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?​

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?​

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?​

Физический смысл собственного значения​

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?​