Операторные уравнения

Пример операторного уравнения:

w

[ H Ψ=EΨ ]

где — оператор,  — функция.

Функция , которая удовлетворяет операторному уравнению

[ L f=lf ]

, называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.

[ L f=lf ]

где — собственное значение,  — собственная функция оператора.

Например, рассмотрим оператор дифференцирования:

[ L = d/dx ​ ]

  1. f=e^{kx}
    widehat{L}f = frac{d}{dx}e^{kx} = underset{substack{ downarrow l}} {k}e^{kx}=lf

    Вывод: функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k.

  2. f = x^2
    widehat{L}f = frac{d}{dx}x^2 = 2x = frac{2}{x}fneq lf

    Вывод: функция f не является собственной, так как не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).

Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L}=frac{d}{dx}
e^{kx} longrightarrow e^x,e^{2x},…,e^{kx}

Собственное значение — k.

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Видео:Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задач

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?

Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.

Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядка

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L} = frac{partial}{partial{x}}
f = e^{kx} qquad widehat{L}f = ke^{kx} = kf, quad l_1 =k g = ye^{kx} qquad widehat{L}g = kye^{kx} = kg, quad l_2 =k gneq fqquad l_1=l_2

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Физический смысл собственного значения

Запишем операторное уравнение:

widehat{L}f=lf

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f^*:

f^*widehat{L}f=f^*lf

Проинтегрируем:

Операторные уравнения

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.

widehat{H}Psi = EPsi

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?

Физическая величина определяется интегралом:

Операторные уравнения

1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;

2) Ψ — не собственная:

Операторные уравнения

Ψ — не собственная:

Операторные уравнения

Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.

Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.

2 следствия:

  • энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина)
    widehat{H}Psi=EPsi
  • физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.

🎥 Видео

Решение ДУ.Операционный методСкачать

Решение ДУ.Операционный метод

Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекцияСкачать

Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекция

Решение диф.уравнений операторным методомСкачать

Решение диф.уравнений операторным методом

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекцияСкачать

Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекция

14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

14. Операционное исчисление.  Система ДУ

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображений

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решенияСкачать

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решения

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы Дюамеля

Операционный метод для задачи КошиСкачать

Операционный метод для задачи Коши

Метод Лапласа решения ДУСкачать

Метод Лапласа решения ДУ

Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный метод

12 Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.Скачать

12  Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.

Понятие о фрактальной формулировке уравнений переносаСкачать

Понятие о фрактальной формулировке уравнений переноса
Поделиться или сохранить к себе:
Конспекты лекций по химии