Операторные уравнения

Пример операторного уравнения:

w

[ H Ψ=EΨ ]

где — оператор,  — функция.

Функция , которая удовлетворяет операторному уравнению

[ L f=lf ]

, называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.

[ L f=lf ]

где — собственное значение,  — собственная функция оператора.

Например, рассмотрим оператор дифференцирования:

[ L = d/dx ​ ]

  1. f=e^{kx}
    widehat{L}f = frac{d}{dx}e^{kx} = underset{substack{ downarrow l}} {k}e^{kx}=lf

    Вывод: функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k.

  2. f = x^2
    widehat{L}f = frac{d}{dx}x^2 = 2x = frac{2}{x}fneq lf

    Вывод: функция f не является собственной, так как не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).

Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.

Видео:Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задач

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L}=frac{d}{dx}
e^{kx} longrightarrow e^x,e^{2x},…,e^{kx}

Собственное значение — k.

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?

Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.

Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядка

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

widehat{L} = frac{partial}{partial{x}}
f = e^{kx} qquad widehat{L}f = ke^{kx} = kf, quad l_1 =k g = ye^{kx} qquad widehat{L}g = kye^{kx} = kg, quad l_2 =k gneq fqquad l_1=l_2

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Физический смысл собственного значения

Запишем операторное уравнение:

widehat{L}f=lf

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f^*:

f^*widehat{L}f=f^*lf

Проинтегрируем:

Операторные уравнения

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.

widehat{H}Psi = EPsi

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

Видео:Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекцияСкачать

Сингулярное разложение. Операторные уравнения. Полярное разложение. Симметрические матрицы 17 лекция

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?

Физическая величина определяется интегралом:

Операторные уравнения

1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;

2) Ψ — не собственная:

Операторные уравнения

Ψ — не собственная:

Операторные уравнения

Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.

Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.

2 следствия:

  • энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина)
    widehat{H}Psi=EPsi
  • физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.

📹 Видео

Решение ДУ.Операционный методСкачать

Решение ДУ.Операционный метод

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Решение диф.уравнений операторным методомСкачать

Решение диф.уравнений операторным методом

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

14. Операционное исчисление.  Система ДУ

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решенияСкачать

Волков В. Т. - Дифференциальные уравнения - Операторный метод нахождения частного решения

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображений

Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекцияСкачать

Теорема Куранта-Фишера. Отношения Рэлея. Операторные уравнения. Матрица по Муру-Пенроузу. 19 лекция

Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный метод

Метод Лапласа решения ДУСкачать

Метод Лапласа решения ДУ

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы Дюамеля

12 Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.Скачать

12  Операционное исчисление. Решить однородное ДУ 2 порядка.

Операционный метод для задачи КошиСкачать

Операционный метод для задачи Коши

Понятие о фрактальной формулировке уравнений переносаСкачать

Понятие о фрактальной формулировке уравнений переноса
Поделиться или сохранить к себе:
Конспекты лекций по химии