Перейти к основному содержимому

Свойства операторов

Оператор — это закон, по которому одной функции ff ставится в соответствие другая функция gg. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией ff, чтобы перевести ее в функцию gg:

g=L^fg = \widehat{L}f

Линейность

Оператор называется линейным, если выполняется следующее равенство:

L^(α1f1+α2f2)=α1L^f1+α2L^f2\widehat{L}(\alpha_1f_1 + \alpha_2f_2) = \alpha_1\widehat{L}f_1 + \alpha_2\widehat{L}f_2
L^(f1+f2)=L^f1+L^f2\widehat{L}(f_1 + f_2) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_2
L^(f1+f1)=L^f1+L^f1=2L^f1\widehat{L}(f_1 + f_1) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_1 = 2 \widehat{L}f_1

Самосопряженность

Оператор называется самосопряженным (эрмитовым), если выполняется следующее равенство:

Свойства операторов: самосопряженность

Действия над операторами

Сложение

L^=L^1+L^2\widehat{L} = \widehat{L}_1 + \widehat{L}_2
L^f=(L^1+L^2)f=L^1f+L^2f\widehat{L}f = (\widehat{L}_1 + \widehat{L}_2)f = \widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f

При сложении порядок действия операторов не имеет значения:

L^1f+L^2f=L^2f+L^1f\widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f = \widehat{L}_2f + \widehat{L}_1f

Умножение

L^f=L^1L^2\widehat{L}f = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2
L^f=L^1(L^2f)=L^1g\widehat{L}f = \widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g

При умножении порядок действия операторов имеет значение:

L^1(L^2f)=L^1gL^2(L^1f)=L^2h}L^1gL^2hL^1L^2L^2L^1\left. \begin{array}{ccc} \widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g \\ \widehat{L}_2({\widehat{L}_1f}) = \widehat{L}_2h \end{array} \right\} \longrightarrow \widehat{L}_1g \neq \widehat{L}_2h \Longrightarrow \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 \neq \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1

Существуют такие пары операторов, для которых перестановочный закон умножения выполняется. Такие пары операторов называются коммутирующими — операторы коммутируют друг с другом.

Коммутатор и условие коммутации

Условие коммутации:

L^1L^2=L^2L^1\widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 = \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1

В случае, если операторы не коммутируют друг с другом, то для таких функций существует коммутатор.

Коммутатором называется оператор, который построен следующим образом:

[L^1,L^2]Коммутатор=L^1L^2L^2L^1\underbrace{[\widehat{L}_1,\widehat{L}_2]}_{Коммутатор} = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 - \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1

Для коммутирующих операторов коммутатор равен нулю.