Матричное представление операторов

Вернер Гейзенберг пришел к выводу, что в квантовой механике очень важен порядок действий: какой оператор первый, какой второй. Матричная аглебра как раз обладает таким свойством. Интересно, что он снова придумал матричную алгебру: физикам не читали матрицу, и он не имел представления об этом.

Каждому оператору физической величины в выбранном базисе пространства функций отвечает квадратная таблица чисел, называемая матричным представлением.

Элементы матричного представления рассчитываются по следующим формулам:

Подход в том, что операторы могут быть разные, но все они выражаются просто таблицей чисел. При этом все действия унифицируются (образуют единую систему).

Вспомним основные действия над матрицами (подробнее можно прочитать в литературе, или на сайтах , ):

Умножение матрицы на число

Пример:

Пример:

Сумма (разность) матриц

Не все матрицы можно складывать (вычитать), а только те, которые одинаковы по размеру.

Пример 1. Сложение двух матриц разных размеров:

Такие матрицы нельзя складывать. Матрицу "два на два" можно складывать только с матрицей "два на два".

Такие матрицы нельзя складывать. Матрицу "два на два" можно складывать только с матрицей "два на два".

Пример 2. Сложение двух матриц одинаковых размеров:

Умножение матриц

Простой случай:

Пример:

Случай посложнее:

Случай посложнее:

Пример:

Пример:

Обратите внимание, что порядок умножения очень важен!

Обратите внимание, что порядок умножения очень важен!

Матрицы специального вида:

Матрицы специального вида:

Рассмотрим две диагональные матрицы M и L:

Рассмотрим две диагональные матрицы M и L:

Каким должен быть базис, чтобы оператор имел вид диагональной матрицы?

Каким должен быть базис, чтобы оператор имел вид диагональной матрицы?

Базис должен состоять из собственных функций этого оператора.

Собственные функции оператора являются нормированными и ортогональными.

Собственные функции оператора являются нормированными и ортогональными.

Правила вычисления определителя матрицы

Существует множество способов вычисления определителя матрицы, о которых вы можете также прочитать на сайте . Мы рассмотрим один из них:

Поделиться: