Операторные уравнения

Функция f удовлетворяющая операторному уравнению Lf = lf называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.

Функция f удовлетворяющая операторному уравнению Lf = lf называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.

Пример:

Пример:

Рассмотрим оператор дифференцирования

В первом случае функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k. Во втором случае функция f не является собственной, т.к. не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).

В первом случае функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k. Во втором случае функция f не является собственной, т.к. не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).

Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?

Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Физический смысл собственного значения

Запишем операторное уравнение:

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f* :

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f* :

Проинтегрируем:

Проинтегрируем:

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?

Физическая величина определяется интегралом:

1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;

1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;

2) Ψ — не собственная:

Ψ — не собственная:

Ψ — не собственная:

Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.

Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.

Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.

2 следствия:

  • энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина)

  • физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.

Поделиться: