Пространство волновых функций

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Квантовое состояние может быть описано:

  • в волновой механике — волновой функцией;
  • в матричной механике — вектором состояния или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Волновая функция — комплексная функция, используемая в квантовой механике для описания состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному).

Признаки волновой функции: конечность , однозначность, непрерывность, нормированность.

Множество всех функций, удовлетворяющих требованиям первого постулата называется пространством волновых функций, т.е. пространство функций – это конкретное множество функций. Понятие пространство несет смысл — в нем мы можем задать координаты функции (пространство структурирует объем - x,y,z).

i} — базис функции; Сi — коэффициенты разложения.

Разложение функций в ряды:

  • Ряд Тейлора

    где x, x2, x3… — базис функции; a0, a1, a2, a3… — координаты функции.
  • Ряд Фурье

    где sin(kx) — базис функции; b0, b1, b2, b3… — координаты функции.

    Базис нужен, чтобы унифицировать действия функций. Координаты — чтобы мы рассматривали положения с одинаковой точки зрения.

    В пространстве может быть разное множество базисов, соответственно для другого базиса все координаты будут уже другие. Базис задает координаты точек и это может быть любая тройка векторов, даже если между ними не 90°.

Волновые функции называются ортогональными, если выполняется следующее равенство:

Физический смысл: этот интеграл — есть вероятность перехода системы из функции φ1 в φ2. Эта вероятность равна нулю.

Волновые функции называются нормированными, если выполняется следующее равенство:

Физический смысл: этот интеграл — есть вероятность нахождения системы во всем пространстве. Эта вероятность равна единице.

Если волновые функции являются нормированными и ортогональными, то они называются ортонормированным базисом функции. Такие базисы являются наиболее удобными.

Выведем условие ортонормированности:

Допустим, есть функция:

Функция подчиняется условию нормировки:

При умножении вводится новый индекс j.

Результат нормировки функции пси по базису:

Физический смысл: этот интеграл — вероятность нахождения системы около базисной функции.

Поделиться: